الرياضيات

خصائص المضلعات

المضلعات.

المضلعات عبارة عن أشكال مستوية مغلقة ومحدودة بثلاثة مقاطع خطية أو أكثر. تكثر المضلعات في عالم الهندسة. يشير المصطلح إلى شكل هندسي متعدد الجوانب في المستوى. عدد الزوايا في المضلع يساوي دائماً عدد الأضلاع. تتم تسمية المضلعات للإشارة إلى عدد جوانبها أو عدد النقاط غير المترابطة الموجودة في المضلع .

المربع هو نوع خاص من المضلعات مثل المثلثات ومتوازيات الأضلاع والمثمنات.

تصنيف.

المضلع المنتظم هو المضلع الذي تتطابق جوانبه وزواياه الداخلية. يمكن نقش المضلعات المنتظمة بدائرة بحيث تكون الدائرة مماساً للجوانب عند المركز ، ويتم تحديدها بدائرة بحيث تشكل الأضلاع أوتاراً في الدائرة. تتم تسمية المضلعات المنتظمة للإشارة إلى عدد أضلاعها أو عدد الرؤوس الموجودة في الشكل. وهكذا ، فإن الشكل السداسي له ستة أضلاع ، في حين أن الشكل العشري له عشرة أضلاع. تتضمن أمثلة المضلعات العادية أيضاً المربع المألوف والمثمن.

ليست كل المضلعات منتظمة أو متماثلة. تسمى المضلعات التي تكون زواياها الداخلية أقل من 180 درجة محدبة. تسمى المضلعات ذات الزوايا الداخلية أو أكثر من 180 درجة مقعرة.

الصورة الأكثر شيوعاً للمضلع هي صورة محيط متعدد الجوانب يحوي منطقة واحدة غير منقطعة. في الواقع ، يمكن أن تتقاطع جوانب المضلع لتشكل مناطق متعددة ومميزة. يصنف هذا المضلع على أنه منعكس.

الزوايا.

في المضلع ، يُعرف الخط الذي يمتد بين نقاط nonadja-cent بأنه قطري. الأقطار المرسومة من رأس واحد إلى الرؤوس المتبقية في مضلع n-sided ستقسم الشكل إلى n – 2 مثلثات. إذن ، يكون مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب (n – 2) × 180 فقط.

إذا امتد جانب المضلع إلى ما بعد الضلع المجاور المتقاطع ، فإنه يحدد الزاوية الخارجية للرأس. لكل رأس في مضلع محدب زاويتان خارجيتان محتملتان ، محددتان من خلال استمرار كل جانب. هاتان الزاويتان متطابقتان.

الشروط الاساسية.

▪️الزاوية – شكل هندسي تم إنشاؤه بواسطة خطين مرسومين من نفس النقطة.

▪️مقعر – مضلع تكون زاوية واحدة منه على الأقل أكبر من الزاوية المستقيمة (180 درجة ).

▪️محدب – مضلع تكون جميع زواياه أقل من الزاوية المستقيمة (180 درجة ).

▪️قُطري – الخط الذي يربط بين أي رأسين غير متجاورين.

▪️متساوي الزوايا – يكون المضلع متساوي الزوايا إذا كانت جميع زواياه متطابقة.

▪️متساوي الأضلاع – يكون المضلع متساوي الأضلاع إذا كانت جميع الأضلاع متساوية في الطول.

▪️متوازي الأضلاع – مستطيل متوازي ضلعيه.

▪️المحيط – مجموع أطوال كل الأضلاع.

▪️المستطيل – متوازي أضلاع تكون فيه جميع الزوايا قائمة.

▪️المضلع الانعكاسي – مضلع يتقاطع فيه جانبان غير متراجعين.

▪️مضلع منتظم – مضلع متساوي الأضلاع متساوي الزوايا.

▪️المعين – متوازي أضلاع متساوية الأضلاع المجاورة.

▪️مربع – شكل رباعي الأضلاع تكون جوانبه متساوية.

▪️الرأس – النقطة التي يلتقي عندها ضلعا الزاوية.

ومع ذلك ، فإن الزاوية الخارجية للمضلع تُعرَّف بأنها إحدى الزاويتين. مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب يساوي 360 درجة .

عدد الجوانب.

عادة ما يتم تعريف المضلعات بعدد الأضلاع الموجودة بها.

١. المضلعات ثلاثية الجوانب: مثلثات.

المضلع ثلاثي الأضلاع هو مثلث. هناك عدة أنواع مختلفة من المثلثات ، بما في ذلك:

▪️متساوي الأضلاع – جميع الجوانب أطوال متساوية ، وجميع الزوايا الداخلية 60 درجة.

▪️متساوي الساقين – له ضلعان متساويان ، والثالث بطول مختلف. زاويتان داخليتان متساويتان.

▪️مختلف الأضلاع Scalene – الجوانب الثلاثة وجميع الزوايا الداخلية الثلاثة مختلفة.

يمكن أيضاً وصف المثلثات من حيث الزوايا الداخلية تضيف الزوايا الداخلية للمثلث دائماً ما يصل إلى 180 درجة. يسمى المثلث ذو الزوايا الداخلية الحادة فقط مثلث حاد (أو حاد الزاوية). واحدة بزاوية منفرجة واحدة وزاويتان حادتان تسمى منفرجة (الزاوية المنفرجة) ، والأخرى بزاوية قائمة تُعرف بالزاوية القائمة.

سيكون كل من هؤلاء أيضاً إما متساوي الأضلاع أو متساوي الساقين أو مدرج .

٢. المضلعات الرباعية الأضلاع – الأشكال الرباعية.

عادة ما يشار إلى المضلعات ذات الجوانب الأربعة على أنها رباعي الأضلاع أو رباعي الزوايا يستخدم مصطلح الرباعي بشكل شائع في الهندسة . غالباً ما يستخدم المصطلح رباعي الزوايا لوصف مساحة خارجية مغلقة مستطيلة ، على سبيل المثال “المستجدات المجمعة في رباعي الزوايا بالكلية”. يتوافق مصطلح tetragon مع المضلع والخماسي وما إلى ذلك. قد تصادفه من حين لآخر ، لكنه لا يستخدم بشكل شائع في الممارسة.

تشتمل عائلة الأشكال الرباعية على المربع والمستطيل والمعين ومتوازيات الأضلاع الأخرى ، شبه المنحرف والطائرة الورقية. مجموع الزوايا الداخلية لجميع الأشكال الرباعية يصل إلى 360 درجة.

▪️مربع : أربعة جوانب متساوية الطول وأربع زوايا قائمة داخلية.

▪️المستطيل : أربع زوايا قائمة داخلية ، أضلاع متقابلة متساوية الطول.

▪️متوازي الأضلاع : الأضلاع المتقابلة متوازية ، الأضلاع المتقابلة متساوية في الطول ، الزوايا المتقابلة متساوية.

▪️المعين (Rhombus) : نوع خاص من متوازي الأضلاع تكون فيه الأضلاع الأربعة بنفس الطول ، مثل المربع الذي تم ضغطه جانبياً.

▪️شبه منحرف: جانبان متوازيان ، لكن الجانبين الآخرين غير متوازيين. أطوال الأضلاع والزوايا غير متساوية.

▪️شبه منحرف متساوي الساقين : جانبان متوازيان وزوايا القاعدة متساوية ، مما يعني أن الأضلاع غير المتوازية متساوية في الطول أيضاً.

▪️طائرة ورقية : زوجان من الأضلاع المتجاورة متساويان في الطول ؛ الشكل له محور تناظر.

▪️شكل رباعي غير منتظم : شكل رباعي الأضلاع لا تتساوى فيه الأضلاع في الطول ولا تتساوى فيه الزوايا الداخلية. لا تزال جميع الزوايا الداخلية تضيف ما يصل إلى 360 درجة ، كما هو الحال مع جميع الأشكال الرباعية العادية الأخرى.

٣. أكثر من أربعة جوانب.

يسمى الشكل الخماسي الأضلاع خماسي الاضلاع

الشكل سداسي الأضلاع هو شكل سداسي الأضلاع ، والشكل بسبعة أضلاع هو سباعي الأضلاع ، في حين أن الشكل الثماني له ثمانية أضلاع .

توجد أسماء لأنواع مختلفة من المضلعات ، وعادة ما يكون عدد الأضلاع أكثر أهمية من اسم الشكل.

هناك نوعان رئيسيان من المضلع – منتظم وغير منتظم.

مضلع منتظم له الجانبين طول المساواة مع زوايا متساوية بين كل جانب. أي مضلع آخر هو مضلع غير منتظم ، بحكم تعريفه له جوانب غير متساوية في الطول وزوايا غير متساوية بين الجانبين. الدوائر والأشكال التي تتضمن منحنيات ليست مضلعات – فالمضلع ، بحكم التعريف ، يتكون من خطوط مستقيمة.

الزوايا بين الجانبين.

الزوايا بين جوانب الأشكال مهمة عند تعريف المضلعات والعمل معها.

▪️طول الجوانب.

بالإضافة إلى عدد الأضلاع والزوايا بين الجوانب ، فإن طول كل جانب من الأشكال مهم أيضاً. يتيح لك طول جوانب الشكل المستوي حساب محيط الشكل (المسافة حول الجزء الخارجي من الشكل) والمساحة (مقدار المسافة داخل الشكل).

إذا كان شكلك مضلعاً عادياً ، مثل المربع فمن الضروري فقط قياس جانب واحد ، بحكم التعريف ، تكون الأضلاع الأخرى للمضلع المنتظم بنفس الطول. من الشائع استخدام علامات التجزئة لتوضيح أن جميع الجوانب متساوية في الطول.

في مثال المستطيل ، احتجنا إلى قياس ضلعين – الضلعان غير المقيسين يساويان الضلعين اللذين تم قياسهما.من الشائع ألا تظهر بعض الأبعاد للأشكال الأكثر تعقيداً. في مثل هذه الحالات يمكن حساب الأبعاد المفقودة.

حساب مساحة المضلعات.

الشكل الرباعي هو أبسط مضلع لأغراض حساب المساحة. للحصول على المساحة ، يمكنك ببساطة مضاعفة الطول بالارتفاع الرأسي.

بالنسبة لمتوازي الأضلاع ، لاحظ أن الارتفاع الرأسي ليس طول الجانب المائل ، بل هو المسافة الرأسية بين الخطين الأفقيين.

هذا لأن متوازي الأضلاع هو في الأساس مستطيل به مثلث مقطوع من أحد طرفيه وملصق على الطرف الآخر.

المساحة هي الطول (الخط الأفقي العلوي) مضروباً في الارتفاع ، والمسافة الرأسية بين الخطين الأفقيين.

لحساب مساحة المثلث ، عليك مضاعفة الطول بالارتفاع الرأسي (أي الارتفاع الرأسي من الخط السفلي إلى النقطة العليا) ، واقطعه إلى النصف. هذا في الأساس لأن المثلث هو نصف مستطيل.

أسهل طريقة لحساب مساحة أي مضلع منتظم هي تقسيمه إلى مثلثات ، واستخدام صيغة مساحة المثلث.

يمكنك أيضاً حساب مساحة أي مضلع عادي باستخدام حساب المثلثات ، لكن هذا أكثر تعقيداً.

المراجع:

“Polygon”, www.encyclopedia.com

Properties of Polygons”, www.skillsyouneed.com

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

زر الذهاب إلى الأعلى